Преобразование Фурье. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла
Содержание:
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
исследования задач математической физики является метод интегральных преобразований. Пусть функция f(x) задана на интервале (а, 6), конечном или бесконечном. Интегральным преобразованием функции f(x) называется функция где К(х, ш) — фиксированная для данного преобразования функция, называемая ядром преобразования (предполагается, что интеграл (*) существуете собственном или несобственном смысле). §1.
Интеграл Фурье Всякая функция f(x), которая на отрезке [-f, I] удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, может быть на этом отрезке представлена тригонометрическим рядом Коэффициенты а*, и 6„ ряда (1) определяются по формулам Эйлера—Фурье: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения Ряд в правой части равенства (1) можно записать в иной форме.
С этой целью внесем в него из формул (2) значения коэффициентов а» и оп, подведем под знаки интегралов cos ^ х и sin х (что возможно, поскольку переменной интегрирования является т) О) и используем формулу для косинуса разности. Будем иметь Если функция/(ж) первоначально была определена на интервале числовой оси, большем, чем отрезок [-1,1] (например, на всей оси), то разложение (3) воспроизведет значения этой функции только на отрезке [-1,1] и продолжит се на всю числовую ось как периодическую функцию с периодом 21 (рис. 1).
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Положим так, что Тогда сумма в правой части (3) примет вид В силу абсолютной сходимости интеграла эта сумма при больших I мало отличается от выражения которое напоминает интегральную сумму для функции переменного £ составленную для интервала (0, +оо) изменения Поэтому естественно ожидать, что при сумма (5) перейдет в интеграл Сдругой стороны, при фиксировано) из формулы (3) вытекает, что и мы получаем равенство Достаточное условие справедливости формулы (7) выражается следующей теоремой.
Теорема 1:
Если функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси и имеет вместе со своей производной конечное число точек разрыва первого рода на любом отрезке [а, 6], то справедливо равенство При этом во всякой точке xq, являющейся точкой разрыва 1-го рода функции /(ж), значение интеграла в правой части (7) равно Формулу (7) называют интегральной формулой Фурье, а стоящий в ее правой части интеграл — интегралом Фурье.
Это — интегральное преобразование функции /(г) на интервале (-оо,+оо) с ядром Используя интегральную формулу Фурье получаем Это так называемое обратное преобразование Фурье, дающее переход от F(£) к /(х). Иногда прямое преобразование Фурье задают так: Тогда обратное преобразование Фурье определится формулой Преобразование Фурье функции /(ж) определяют также следующим образом: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения.
Тогда, в свою очередь, При этом положение множителя ^ достаточно произвольно: он может входить либо в формулу (1″), либо в формулу (2″).
Полагая в (4) £ = 0, найдем С = F(0). В силу (3) имеем Известно, что В частности, для ) получаем, что Пример 2 (разред кокдемсетора через сопропиление). Рассмотрим функцию 4 Для спектрам ыюй функции F(£) получаем Отсюда (рис.2). Условие абсолютной интегри-руемости функции f(x) на всей числовой оси является весьма жестким. Оно исключает, например, такие элементарные функции, как ) = cos ж, f(x) = е1, для которых преобразования Фурье (в рассматриваемой здесь классической форме) не существует.
Функция называется косинус-преобразованием Фурье функции f(x). Из (6) следует, что для четной функции f(x) Это означает, что f(x), в свою очередь, является косинус-преобразованием для Fc(£). Иными словами, функции / и Fc являются взаимными косинус-преобразованиями. Определение. Функция называется синус-преобразованием Фурье функции f(x). Из (7) получаем, что для нечетной функции f(x) т.е. f и Fs являются взаимными синус-преобразованиями.
Пример 3 прамоугольный импульс:
Пусть f(t) — четная функция, определенная следующим образом: (рис. 3). Воспользуемся полученным результатом для вычисления интеграла В силу формулы (9) имеем Рис.3 0 0 В точке t = 0 функция f(t) непрерывна и равна единице. Поэтому из (12′) получим 2.2. Амплитудный и фазовый спектры интеграла Фурье Пусть периодическая с периодом 2т функция /(х) разлагается в ряд Фурье Это равенство можно записать в виде где — амплитуда колебания с частотой п, — фаза. На этом пути мы приходим к понятиям амплитудного и фазового спектров периодической функции.
Пример 4:
Найти амплитудный и фазовый спектры функции 4 Находим спектральную функцию Отсюда Графики этих функций изображены на рис. 4. §3. Свойства преобразования Фурье 1. Линейность. Если и G(0 — преобразования Фурье функций /(х) и д(х) соответственно, то при любых постоянных а и р преобразованием Фурье функции a f Если функция f(x) имеет глад*«е абсолютно интефируемые производные до порядка m включительно и все они, как и сама функция f(x), стремятся к нулю при то, интегрируя по частям нужное число раз, получим Преобразование Фурье очень полезно именно потому, что оно заменяет операцию дифференцирования операцией умножения на величину и тем самым упрощает задачуинтегрирования некоторых видов дифференциальных уравнений. Нетрудно установить следующие свойства свертки: 1) линейность: 2) коммутативность: §4. Приложения преобразования Фурье 1. Пусть Р(^) — линейный дифференциальный оператор порядка m с постоянными коэффициентами, Используя формулу для преобразования Фурье производных функции у(х), находим ‘ Рассмотрим дифференциальное уравнение где Р — введенный выше дифференциальный оператор. Предположим, что искомое решение у(х) имеет преобразование Фурье у (О. а функция f(x) имеет преобразование /(£)• Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это — задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института. Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды. Пусть функция Используя формулы Эйлера (4.14) и (4.15), преобразуем подынтегральное выражение (5.5): Домножим числитель и знаменатель второй дроби на мнимую единицу i: при Т.е. Равенство (5.9) получено при условии, что То есть равенство (5.9) справедливо при всех действительных значениях u. Окончательно можно записать комплексную форму интеграла Фурье: Пример: записать интеграл Фурье в комплексной форме для функции Вычислим для заданного примера коэффициент c(u): Итак, интеграл Фурье в комплексной форме для заданной функции имеет следующий вид: Перейдем от комплексной формы интеграла Фурье к действительной форме интеграла Фурье для этой же функции. Сложим первое и второе равенства, тогда Вычтем из первого равенства второе, тогда: Тогда коэффициент b(u) соответственно равен: Интеграл Фурье для данной функции в обычной, действительной форме примет вид: Пример: представить интегралом Фурье в комплексной форме функцию то есть данную функцию можно представить с помощью интеграла Фурье: По формуле Эйлера При вычислениях учитывали, что Тогда комплексная форма интеграла Фурье для данной функции примет вид: Перейдем к действительной форме интеграла Фурье для той же функции: Действительная форма интеграла Фурье для данной функции примет вид: Приложение. Варианты индивидуальных домашних заданий. Вариант № 1 1. Исследовать ряд на сходимость. 2. Найти область сходимости степенного ряда. 3. Разложить в ряд Тейлора по степеням “ x “ функцию 4. Разложить в ряд Фурье на интервале (0 ; π) по косинусам функцию: Вариант № 2 1. Исследовать ряд на сходимость. 2. Найти область сходимости степенного ряда. 3. Вычислить приближенно учитывая 2 члена разложения подынтегральной функции. Оценить погрешность приближения. 4. Разложить в ряд Фурье функцию по синусам: 3. Вычислить с точностью до 0.001 4. Разложить в ряд Фурье функцию по синусам. Вариант № 4 1. Исследовать ряд на сходимость. 2. Найти область сходимости степенного ряда. 3. Разложить в ряд Маклорена функцию 4. Разложить в ряд Фурье функцию: Вариант № 5 1. Исследовать ряд на сходимость. 2. Найти область сходимости степенного ряда. 3. Вычислить с точностью до 0,001 4. Разложить в ряд Фурье функцию: Вариант № 6 1. Исследовать ряд на сходимость. 2. Найти область сходимости степенного ряда. 3. Разложить в ряд Маклорена функцию 4. Разложить в ряд Фурье 4. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам Вариант №10 1. Исследовать ряд на сходимость 2. Найти область сходимости степенного ряда 3. Вычислить с точностью до 0.001 4. Разложить в ряд Фурье функцию на отрезке (0; 1) по косинусам Вариант № 11 1. Исследовать ряд на сходимость 2. Найти область сходимости степенного ряда 3. Разложить в ряд Тейлора по степеням (х-2) функцию найти интервал сходимость к f(x) 4. Разложить в ряд Фурье функцию на интервале (0;2π) Вариант № 12 1. Исследовать ряд на сходимость 2. Найти область сходимости степенного ряда 3. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням X, определить интервал сходимости 4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с Вариант №13 1. Исследовать ряд на сходимость 2. Найти область сходимости степенного ряда 3. Разложить в ряд Тейлора по степеням (х+1) функцию найти интервал сходимость к f(x) 4. Представить функцию рядом Фурье на интервале (-π, π) Вариант №14 1. Исследовать ряд на сходимость 2. Найти область сходимости степенного ряда 3. Вычислить с точностью до 0.001 4. Разложить функцию в ряд Фурье на интервале (0, π) по синусам Вариант №15 1. Исследовать ряд на сходимость числовой ряд 2. Найти область сходимости степенного ряда 3. Разложить в ряд Тейлора по степеням X функцию найти интервал сходимости ряда к f(x). 4. Представить рядом Фурье периодическую функцию с Т=π Вариант №16 1. Исследовать числовой ряд на сходимость 2. Найти область сходимости степенного ряда 3. Разложить в ряд Тейлора по степеням X функцию найти интервал сходимость к f(x). 4. Представить рядом Фурье функцию на интервале (-3, 3). Вариант № 17 1. Исследовать числовой ряд на сходимость: 2. Найти область сходимости степенного ряда: 3. Вычислить с точностью до 0,001: 4. Представить рядом Фурье функцию:
Если F(£) есть преобразование Фурье абсолютно 
Комплексная форма интеграла Фурье
может быть представлена интегралом Фурье (функция отвечает условиям Дирихле и абсолютно интегрируема, то есть 
— сходится). Запишем для этой функции в действительной форме интеграл Фурье:
, где
;
. Тогда подынтегральная функция в выражении (5.5) запишется в виде:
и
(5.9), но можно показать, что формула (5.9) справедлива и при 
.
при
(5.10)
( 
)
, где 
— кусочно-гладкая и кусочно-монотонная, абсолютно интегрируемая функция, так как
, где
, в нашем случае 
меняем на 
.
, найти интервал сходимости ряда к 
.
0 
, найти интервал сходимости ряда к .
по синусам.
по синусам.
, найти интервал сходимости ряда к .
, если:
на интервале (-1